Isi

• Instruksi
• Bagaimana
• Perhatikan

Definisi epsilon-delta adalah demonstrasi yang dipelajari siswa pada tahun pertama kelas kalkulus. Definisi ini adalah cara klasik untuk menunjukkan bahwa suatu fungsi mendekati ambang tertentu ketika variabel independen mendekati nilai yang diberikan. Epsilon dan delta, masing-masing, adalah huruf keempat dan kelima dari alfabet Yunani. Surat-surat ini secara tradisional digunakan dalam proses penghitungan batas dan juga digunakan dalam proses demonstrasi.

Instruksi

Definisi epsilon-delta digunakan untuk menyelesaikan pertanyaan batas. (Jupiterimages / Photos.com / Getty Images)

1. Seseorang harus mulai dengan bekerja dengan definisi batas formal. Definisi ini menyatakan bahwa "batas f (x) adalah L, ketika x mendekati k, jika untuk setiap epsilon lebih besar dari nol ada delta yang sesuai, lebih besar dari nol, sehingga ketika nilai absolut dari perbedaan antara x dan k kurang dari delta, nilai absolut dari perbedaan antara f (x) dan L akan lebih kecil dari epsilon. "Secara informal, ini berarti bahwa batas f (x) adalah L, ketika x mendekati k, jika memungkinkan untuk membuat f (x) sedekat L dengan yang diinginkan, dengan mendekati x ke k. Untuk melakukan demonstrasi epsilon-delta, harus ditunjukkan bahwa adalah mungkin untuk mendefinisikan delta dalam hal epsilon, untuk fungsi dan batas yang diberikan.

   
   

2. Manipulasi pernyataan "| f (x) - L | lebih kecil dari epsilon" hingga Anda mendapatkan | x - k | kurang dari beberapa nilai. Anggap "beberapa nilai" ini sebagai delta. Ingat definisi formal dan ide sentral, yang menyatakan bahwa perlu untuk menunjukkan bahwa untuk setiap epsilon ada delta, membangun di antara mereka hubungan yang membuat definisi itu benar. Untuk alasan ini, perlu untuk mendefinisikan delta dalam hal epsilon.

3. Perhatikan beberapa contoh berikut untuk mengambil gagasan tentang bagaimana hasil definisi. Misalnya, untuk membuktikan bahwa batas 3x-1 adalah 2, ketika x mendekati 1, kita menganggap k = 1, L = 2 dan f (x) = 3x-1. Untuk memastikan bahwa | f (x) - L | kurang dari epsilon, do | (3x - 1) - 2 | lebih rendah dari epsilon. Ini berarti bahwa | 3x - 3 | kurang dari epsilon, jadi 3 | x - 1 | juga, atau || x - 1 | kurang dari epsilon / 3. Jadi, mengingat delta = epsilon / 3, | f (x) - L | akan kurang dari epsilon setiap kali | x - k | kurang dari delta.

   
   

Bagaimana

• Bagian utama dari buktinya adalah mengubah f (x) - L menjadi x - k. Jika Anda mengingat tujuan ini, sisa demonstrasi akan berlangsung dengan sempurna.

Perhatikan

• Dalam beberapa situasi, batas fungsi dapat mengindikasikan bahwa f (x) cenderung tak terhingga setiap kali x cenderung tak terhingga. Definisi epsilon-delta tidak berfungsi dalam kasus ini; dalam situasi ini, demonstrasi yang sama dapat dilakukan dengan memilih dua angka besar, M dan N, dan menunjukkan bahwa f (x) dapat melebihi M dengan menyebabkan x melebihi N, dan M dapat sebesar yang diinginkan.